숫자 145에는 신기한 성질이 있습니다. 각 자릿수의 팩토리얼(계승)을 더하면  1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145 처럼 자기 자신이 됩니다.

이렇게 각 자릿수의 팩토리얼을 더하면 자기 자신이 되는 모든 수의 합을 구하세요.

단, 1! = 1 과 2! = 2 의 경우는 덧셈이 아니므로 제외합니다.

$l 에 한계값 넣고 돌린다.
오래걸린다. 약 28초…

분수 ⁴⁹/₉₈에는 재미있는 성질이 있습니다. 수학을 잘 모르는 사람이 분모와 분자에서 9를 각각 지워서 간단히 하려고 ⁴⁹/₉₈ = ⁴/₈ 처럼 계산해도 올바른 결과가 됩니다.

이에 비해 ³⁰/₅₀ = ³/₅ 같은 경우는 다소 진부한 예라고 볼 수 있습니다.

위와 같은 성질을 가지면서 ‘진부하지 않은’ 분수는, 값이 1보다 작고 분자와 분모가 2자리 정수인 경우 모두 4개가 있습니다.

이 4개의 분수를 곱해서 약분했을 때 분모는 얼마입니까?

… 그냥 풀자.
사실 손으로 풀어도 된다.

1부터 n까지의 각 숫자를 한번씩만 써서 만들 수 있는 숫자를 팬디지털(pandigital)이라고 합니다.
예를 들면 15234는 1부터 5의 숫자가 한번씩만 쓰였으므로 1 ~ 5 팬디지털입니다.

7254라는 숫자는 그런 면에서 특이한데, 39 × 186 = 7254 라는 곱셈식을 만들 때 이것이 1 ~ 9 팬디지털이 되기 때문입니다.

이런 식으로 a × b = c 가 1 ~ 9 팬디지털이 되는 모든 c의 합은 얼마입니까?

(참고: 어떤 c는 두 개 이상의 (a, b)쌍에 대응될 수도 있는데, 이런 경우는 하나로 칩니다)

…오래걸린다.
약 21초 걸렸다.

영국의 화폐 단위는 파운드(£)와 펜스(p)이고, 동전의 종류는 아래와 같습니다.

1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p), £2 (200p)
이 동전들을 가지고 2파운드를 만드는 방법은 다양할 것입니다. 예를 하나 들면 이렇습니다.

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p
2파운드를 만드는 서로 다른 방법은 모두 몇가지나 있습니까?

사실 슬슬 귀찮았다.
동적계획법을 쓰면 좋았겠지만, 귀찮으니까 그냥 바보같이 짰다.
실행시간은 약 2초

각 자리의 숫자를 4제곱해서 더했을 때 자기 자신이 되는 수는 놀랍게도 단 세 개밖에 없습니다.

1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴
8208 = 8⁴ + 2⁴ + 0⁴ + 8⁴
9474 = 9⁴ + 4⁴ + 7⁴ + 4⁴

(1 = 1⁴의 경우는 엄밀히 말해 합이 아니므로 제외합니다)

위의 세 숫자를 모두 더하면 1634 + 8208 + 9474 = 19316 입니다.

그렇다면, 각 자리 숫자를 5제곱해서 더했을 때 자기 자신이 되는 수들의 합은 얼마입니까?

처음에 $l 에 한계값을 구해놓고 계산한다.

2 ≤ a ≤ 5 이고 2 ≤ b ≤ 5인 두 정수 a, b로 만들 수 있는 ab의 모든 조합을 구하면 다음과 같습니다.

2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32
3²=9, 3³=27, 3⁴=81, 3⁵=243
4²=16, 4³=64, 4⁴=256, 4⁵=1024
5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125

여기서 중복된 것을 빼고 크기 순으로 나열하면 아래와 같은 15개의 숫자가 됩니다.

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

그러면, 2 ≤ a ≤ 100 이고 2 ≤ b ≤ 100인 a, b를 가지고 만들 수 있는 a^b는 중복을 제외하면 모두 몇 개입니까?

패기로 푼다.
드디어 감당할 수 없을 정도의 큰 수가 나왔다. Math::BitInt를 사용하여 계산한다.
중복을 제외하기 위해 배열 대신 해쉬를 사용했다는 것 정도가 특이한 점일까.
계산은 약 1초 걸린다.

숫자 1부터 시작해서 우측으로부터 시계방향으로 감아 5×5 행렬을 만들면 아래와 같이 됩니다.

21 22 23 24 25
20   7   8   9 10
19   6   1   2 11
18   5   4   3 12
17 16 15 14 13

여기서 대각선상의 숫자를 모두 더한 값은 101 입니다.

같은 방식으로 1001×1001 행렬을 만들었을 때, 대각선상의 숫자를 더하면 얼마가 됩니까?

두 가지 방법이 있겠다.
똑똑하게 계산해서 푸는 방법과 우직하게 달팽이 배열 만들어서 더하는 방법.
둘 모두 사용해봤다. 당연히 짧은 쪽이 현명한 방법이다.

오일러는 다음과 같은 멋진 2차식을 제시했습니다.

n² + n + 41

이 식의 n에다 0부터 39 사이의 숫자를 넣으면, 그 결과는 모두 소수가 됩니다.
하지만 n = 40일 때의 값 40² + 40 + 41 은 40×(40 + 1) + 41 이므로 41로 나누어지고, n = 41일 때 역시 41² + 41 + 41 이므로 소수가 아닙니다.

컴퓨터의 발전에 힘입어 n² − 79n + 1601 이라는 엄청난 2차식이 발견되었는데, 이것은 n이 0에서 79 사이일 때 모두 80개의 소수를 만들어냅니다. 이 식의 계수의 곱은 -79 × 1601 = -126479가 됩니다.

아래와 같은 모양의 2차식이 있다고 가정했을 때,

n² + an + b (단 | a | < 1000, | b | < 1000)

0부터 시작하는 연속된 n에 대해 가장 많은 소수를 만들어내는 2차식을 찾아서, 그 계수 a와 b의 곱을 구하세요.

모듈에 힘입어 무념무상으로 풉니다.

분자가 1인 분수를 단위분수라고 합니다. 분모가 2에서 10까지의 단위분수는 아래와 같습니다.

¹/₂= 0.5
¹/₃= 0.(3)
¹/₄= 0.25
¹/₅= 0.2
¹/₆= 0.1(6)
¹/₇= 0.(142857)
¹/₈= 0.125
¹/₉= 0.(1)
¹/₁₀= 0.1

소괄호는 순환마디를 나타내는데, 1/6의 경우 순환마디는 “6”으로 0.166666…처럼 6이 무한히 반복됨을 뜻합니다. 같은 식으로 1/7은 6자리의 순환마디(142857)를 가집니다.

d 를 1000 이하의 정수라고 할 때, 단위분수 1/d 의 순환마디가 가장 긴 수는 무엇입니까?

Carmichael function을 이용했다.
소요시간은 약 10초.

피보나치 수열은 아래와 같은 점화식으로 정의됩니다.

F_n = F_n-1 + F_n-2 (단, F₁ = 1, F₂ = 1).

이에 따라 수열을 12번째 항까지 차례대로 계산하면 다음과 같습니다.

F₁ = 1
F₂ = 1
F₃ = 2
F₄ = 3
F₅ = 5
F₆ = 8
F₇ = 13
F₈ = 21
F₉ = 34
F₁₀ = 55
F₁₁ = 89
F₁₂ = 144

수열의 값은 F₁₂에서 처음으로 3자리가 됩니다.

피보나치 수열에서 값이 처음으로 1000자리가 되는 것은 몇번째 항입니까?

피보나치 수열을 구하는 함수를 구현할 수는 있겠지만, 귀찮으니까 모듈을 씁니다.